一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （一） [复制链接]

　　一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （一）
　　作者：梅花一点
　　（一）
　　关于发现新的数学的可能。
　　我们现在对于数学的理解，来自于现代科学的框框，也只是通过现代的数学来看待数学这一门学问。这种框框必然把数学当作现代自然科学的一部分来看待，也必然局限在现代自然科学研究范围的框框中来谈论、研究数学，同时，也使数学没有逃脱现代自然科学对于自然、宇宙、生命、人类和社会历史的局限看法，最终导致数学的研究走入了现代人研究科学的框框中——也就是认识了一种事物以后才去研究他。
　　现代人一般是把计数和度量当作数学的全部范畴。所以，数学史家们在研究数学史的时候，一般从人类怎样发明记数的符号和文字开始研究，然后就是关于记数的方法和各种测量的工具等等的考古发现，最后就是关于古代一些关于现代数学的定理、公式、方程式等等的发现。
　　比如，我看了一个关于数学大事年表的排列，截取一段给大家瞧一瞧，见表【注1】：
　　时间 国家 内容
　　前4000 中国 西安半坡遗址出土陶器上有许多刻符，据考证有些是数字刻符。
　　前3000 前1700 巴比伦 巴比伦的数学记载：建立60進位计数法与记数符号，使用简单的乘法表、平方表、立方表和倒数表；出现简单的二次方程，利用相似原理计算三角形与梯形的边长等。
　　前3000 埃及 象形数字，采用10進位记数。
　　前2698 前2357 中国 尸佼《尸子》称：“古者倕为规、矩、准、绳，使天下放焉“。相传倕为黄帝时代人，规、矩、准、绳虽为四种几何工具，但可说明，当时已有方、圆、平、直等概念。
　　前2400 前1600 巴比伦 早期巴比伦泥板楔形文字，掌握某种开平方的方法，已知勾股定理并给出若干组勾股数。
　　前2200 中国 据《易经》所载，有《洛书》、《河图》等数学文献。
　　前2000 中国 山东省城子崖遗址出土陶器上有数字刻符。
　　前1900 埃及 埃及的数学载：解形如ax^2=b的方程；出现表示加法、减法和平方根的符号；求三角形、梯形的面积和棱柱体的体积；用A=〔〔8d〕/q〕^2求圆面积〔d为直径〕，取pi=3.16；出现含有等差数列、等比数列，比例分配等内容的问题。
　　前1850 前1650 埃及 纸草书〔莫斯科纸草书与莱茵德纸草书〕，使用10進非位值制记数法。
　　前1400 前1100 中国 周公〔公元前11世纪〕、商高时代已知勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。
　　前1400 中国 殷商时代甲骨文卜辞中，已有十進：数字的记录，其中最大的数字为三万。
　　前600 中国 陈子已知勾股定理的一般形式。
　　前600 希腊 泰勒斯将埃及的实用几何带入希腊，开始证明几何命题。
　　前585 前400 希腊 毕达哥拉斯学派对数与图形進行广泛的探究。
　　前550 前340 中国 筹算的产生。
　　前550 前340 中国 《墨经》给出若干几何概念和命题，因而一般认为它记载了中国最古老的几何知识。
　　前550 前340 希腊 毕达哥拉斯学派发现勾股定理及不可公度比；诡办学派的尺规作图的三大问题：齐诺的悖论；安提丰提出穷竭法；泰奥多勒斯的无理数；攸多克萨斯创比例论；亚里士多德创逻辑学；门内马斯的圆锥曲线研究。

　　对于中国古代数学，中国数学史家一般以《周髀算经》为始点，认为他是中国现存最早的一部数学典籍，专家考证成书时间在周汉期间，跨度大。严格说来，《周髀算经》是一部天文著作，因为要讨论天文历法，而叙述了一些有关的数学知识；其中重要的题材有勾股定理、比例测量与计算天体方位所不能避免的分数四则运算。当然，也有以《九章算术》为始点。另外，也有把20世纪80年代发现的《算术书》作为开始。
　　再如，现代数学发现了极限理论以后，回过头来看中国的公元前300年的庄子的一句话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”（《庄子·天下篇》，有学者认为是无限分割理论，极限的概念不够恰当），就认为早在庄子时代就有了极限观念了。这就是所谓的典型的发现。也即现代科学的发现出来以后，才承认古人早有认识；而不是因为古人早有认识，却因为不相信他，及到现代科学发现了才赶紧承认他，吹嘘他。相同的情况也是：对于《周易》的数学文化内涵，基本也停留在近代人发现的二進制的思想基础上作阐述。现在的研究者也已经开始发现，单以二進制的角度来阐释《周易》的数学思想是不充分的、不完整的，甚至有曲解的意义在里面，因为从二進制的角度来看《周易》就变成了是由于二進制的发明才能去理解《周易》了，也就是用二進制思想代替了《周易》的思想了。
　　这些都是用现代数学或现代科学的理论与观念来看待数学的历史发展的；而没有发现或认识到的东西一概视而不见。由于现代科学的发展，现在，对于数学的定义已经和以往有所不同了。现在对数学的定义是：
　　数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。【注2】
　　就例如那个著名的勾股法，这是人的肉眼所看到的固定空间的几何形式，在这种情况下才能進行计算。而一旦超出一点点肉眼所看到的固定空间，包括观念中的设想的空间，勾股法就不适用了。那么，如果一个人不相信有超出人的肉眼所看到的空间的存在的时候，就会不可能发现超出肉眼看到的空间数学模式了。不过，这里不是贬低勾股法；这种勾股法对于人类的生存空间还是有具体的实际的功用的。
　　可以看出来，数学的思想内涵也在不断的向各种方向延伸；特别在物理学上，各种事物的物理结构的发现往往也能开辟出新的数学模式的诞生。这种延伸在数学领域中，将发生许多变革，包括对于数学自身的思想的重新反省。
　　然而，中国古代的学人并不是这样看待数与数学的。
　　首先，“数”是宇宙万物的直接体现。当然，严格来说，“数”就在宇宙万物本身之中；反过来也可以这么说，因为宇宙万物的运动是有规律的、有定数的，所以更加能够用“数”来体现万物。
　　其次，在这里，需要解释“数”与“数字”的区别是：“数” 一般是通过“数字”来表现的，但也可以用别的方式来表现，所以“数”并不完全等同于“数字”。举个例子：象《周易》中的八卦，你可以随意掂出一卦，如乾卦、巽卦，这是可以通过卦象知道他们相应代表的数字的；但是卦象的内涵却不等同于数字的内涵。那么，也就是说，“数”的内涵是“数字”不能完全表现出来的，或者说“数字”只能小部分的、局部的表现了“数”的内涵。所以，二者是不能等同起来的。古人也是不把“数”完全等同于“数字”一意，只要是能表现出一定规律的内涵都称为“数”。
　　第三，实际上，“数”还有“规律、命运”的含义，只不过现代语言学家把此义当作引申义来对待。然而，在此处，这个所谓的“引申义”却是理解“数”的关键所在。所以，当我们把“数”的计算、规律、命运等内涵一起应用，就能知道古代人怎样对于“数”的全面的、整体的、正确的把握。《汉书?律历志》曰：“数者，一十百千万也，所以算数事物，顺性命之理。《书》曰：‘先其算命。’……探赜索隐、钩深致远，莫不用焉。”可见，算数与“性命之理”、与“算命”是有密切关联的。而“性命文化”与数学之间的关系，对于被现代思想思维着的人或研究者来说，这是一个充满迷雾的领域，是有待开拓与发掘的。

　　南宋秦九韶在《〈数书九章〉序》中说，数学“大则通神明，顺性命；小则可以经世物，类万物”，“今数术之书，尚余三十家。天象历度，谓之‘缀术’；太乙壬甲，谓之‘三式’，皆曰内算，言其秘也。《九章》所载，即周官‘九数’；系于方圆者，为‘叀（读：zhuān ?）术’，皆曰外算，对内而言也。其用相通，不可歧二。”【注7】
　　那么，这里的“内算”的内涵接近“术数”，主要指天文历数，太乙、六壬、奇门遁甲三式等等；而“外算”的内涵接近现在意义的“数学”。而《四库全书总目提要》指出术数的类别中，专门提到一种“数学”，曰：“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是为数学。”这说明“术数”的内涵里也包括有以数字为模式的“数学”。至于说到“术数”，则是研究命理文化的运算技巧。在这里，“内算”、“外算”的说法是相对而言的；但是，这两个的用法是相通的，不可以分歧、分离他们。那么他们二者之间的紧密联系，在笔者看来，就跟“数字”及部分基本运算规则（如：加减乘除）的应用是一致的，也是不可分开的使用的。当然，可能还有其他相似的、相通的因素，这有待研究。
　　从这三点来看，数学这个学科知识体系是与文化紧密相关的，现代的许多数学家、哲学家已经意识到这个现象的真实性。那么，我们可以看到或者能够预见到，数学的内涵将会因为不同文化的内涵的扩展而被发掘出来，同时，不同的文化内涵本身另产生有其相应的数学内涵的展现。就象“性命文化”内涵在中国古代时段是很发达的、也被人们很广泛的应用和流传；所以，要了解、明了中国古代数学的真实情况，则需要透彻中国古代文化的实质。要想发现或者发明新的数学，首先必须有新的文化内涵在人间出现，才有这种可能性。
　　一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （二）
　　二、
　　大家都知道中国的天干地支：
　　甲子 丙子 戊子 庚子 壬子
　　乙丑 丁丑 己丑 辛丑 癸丑
　　丙寅 戊寅 庚寅 壬寅 甲寅
　　丁卯 己卯 辛卯 癸卯 乙卯
　　戊辰 庚辰 壬辰 甲辰 丙辰
　　己巳 辛巳 癸巳 乙巳 丁巳
　　庚午 壬午 甲午 丙午 戊午
　　辛未 癸未 乙未 丁未 己未
　　壬申 甲申 丙申 戊申 庚申
　　癸酉 乙酉 丁酉 己酉 辛酉
　　甲戌 丙戌 戊戌 庚戌 壬戌
　　乙亥 丁亥 己亥 辛亥 癸亥
　　天干是：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。
　　地支是：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
　　为大家所闻名的用动物来配地支是：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
　　天干地支合在一起就是六十花甲，配出60个数：这些就是一种记数的办法。他和现在的星期的记数、月份的记数的方式是一样的。像星期有7个数；月有12个数。
　　天干地支出现的目地就是，把宇宙时间的循环周期在地球人类社会的反映的东西体现出来，具体表现为一种时间的记数，但不是通过数字来表现的；而其中关于时间的循环周期规律却一目了然。这是中国古代“数”的一个特征。著名易学者潘雨廷《读易提要》中说道：“考黄帝时甲子已通行，今得殷墟文，于六十甲子屡见不鲜。盖不明周期，必不能明事物之变。先民之成六十甲子，实悟乎周期变化之原也。吾国之文化，于六十甲子关系殊密，以历言，尤重甲子。”【注3】

　　天干地支，在大的方面可以表现天象、人类社会的规律，小的方面可以体现人体的或具体事物的细微变化规律。
　　比如，在大的方面最有说服力的是，中国逢9（公元的纪年）必有大事发生：1919年、1929年、1939年、1949年、1959年、1969年、 1979年、1989年、1999年。而这些规律与天干的每10年一个周期是一致的。现在大陆研究者有研究地震规律的，也发现60年左右为一个大地震周期，符合六十甲子的干支周期规律。
　　再比如，小的方面如，中医把人体里面的时间变化当作治疗的一个依据，其中的时间记数办法就使用天干地支。可见石玉坤的《十二时辰与人体》【注4】。
　　天干地支对于时间的来说，具有完整的体系性和全面性，应该认为是一种时间记数的体系。他们是对于时间的一种完整全面的科学体系。体现在：
　　A、天干地支可以应用到年、月、日、时辰的记数，既具有数字的特征，又有一种周期循环规律的特征。
　　B、天干地支对于人体生命的时间应用同样有效。
　　C、干支的排列不仅是固定的、不能随意更改次序，而且什么具体时间排什么干支也是固定的、不可随意变换，所以对于时间的循环周期也是有规律的、可预见的，就如同春夏秋冬的周期变化也是可以预见的一样。
　　这些都符合中国古代“数”的所有内涵。
　　天干地支相配，符合现代数学的排列组合的理论。这只是现代人的认识，把天干地支纯粹当作一种数字的模式去认识，剥离了其中的文化内涵，自然就不理解天干地支对于时间应用的整体把握和科学规律。
　　天干地支虽然只有22个字，但对于时间内涵的来说，具有完整的体系性和全面性的表现，应该认为是一种时间记数和宇宙时间周期规律的体系；而且在宇宙万物的洪观、微观上都有全面完整的表现。所以，天干地支既是一种时间记数方法，又是一种宇宙时间观，更是一种“天人合一”的文化科学观。
　　再比如大家熟悉的五行。他最早出现在《尚书.洪范》篇中，曰：“一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。”而这个数字的排列正好和河图是一致的，并且与地理方位是完全合一的：北方为水，南方为火，东方为木，西方为金，中为土。
　　后人证明这不是简单偶合的，是有规律的。也就是说，五行是和数字有相配的关系，也可以用数字来表达五行的变化。而五行本身只是表现宇宙物理的规律，兼有地理方位的理念。由此说明，宇宙万物有具体的“数”的表现。这在现代化学的元数周期表、化学方程式等有体现。而五行的表现较简约。要指出的是，五行并不等于“数字”或“数”的本身，但五行蕴涵着“数”。同时，产生了另一方面的效应：和五行对应的内涵（如方位：东南西北中；颜色：青朱白黑黄等等）也因此配有相应的对应的数。一般是这样配的数字：
　　一六为水，二七为火，三八为木，四九为金，五十为土。
　　另外，五行表现了相生相克的理：
　　木生火，火生土，土生金，金生水，水生木。
　　木克土，土克水，水克火，火克金，金克木。
　　这种相生相克的理对于“数”或者“数字”上的影响，还有待研究。笔者初步以为就是为术数文化奠定了其运算方法。事物运动的理，跟生克紧密相关。清朝王用臣撰的《续幼学歌》中写到：
　　太昊木德炎帝火，黄帝土分少昊金，
　　颛顼为水帝喾木，唐火虞土夏舍存，
　　商水周木相生说，秦水汉土后汉火，
　　魏土晋金宋为火，齐木梁水陈土纪，
　　后魏水今后周木，隋为火德唐土纪，
　　后唐仍土晋为金，汉水周木宋火是。

　　《续幼学歌》就是用五行配朝代，表现相生相克之理。这说明五行在时间历史上也是有周期变化的体现。这在《全上古三代文》或者《册府元龟.卷一》【见附录一】中有详细的记载和讨论。不过，历史上在学术中对于五行没有关于历史变化规律的明确的定论或者准确的描述。尤其在秦汉以后，定论难以确定；而到了北宋以后就没有了。这可能因为一方面五行的内涵代表的意义远低于阴阳的内涵（即：五行主要指太阳系内尤其在地球上的物质分类；而阴阳的规律远远超出了太阳系的范围）；另一方面，“五行”的复杂变化程度远大于“阴阳”的内涵（即数字“五”大于数字“二”），所以“五行”相对于“阴阳”不能达到大道至简至易的境界，也难以上升到如此境界，从而降低了五行的运算意义的开发。
　　从以上可见，“数”在古代中国有深厚的内涵，“数”能成为一种学，就必须和宇宙的时空相联系，才能得到完整的体现。今人一般都把现在所谓的数学当作一种抽象的科学，实际的意思也就是从人的认识观念出发，把事物经过观念的认知抽象出发来研究。这种剥离的思维结果，乃是将人的思想与物质分离开来，是一种精神与物质的分离研究现象，是一种“心物”分离的状态，也是一种人为的思维结果，而不是宇宙、生命的现实真象。
　　干支与五行的配数现象证明，宇宙万物跟“数”是有紧密关系的；同时，也说明在一定层次的宇宙范围内的万物的内涵，可以表达为“数”或者用“数”来表达。
　　(待续)
　　一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （三）
　　三、
　　再比如中国的《易经》，他的内容包含着深厚的“数学”思想，但是由于现代科学的概念框框禁锢人们的思想，不承认宇宙中存在的太极阴阳等事物；加上现代科学过分讲求实证，对于《易经》的思想也象上文说的庄子的极限思想的发现一样，要等到人们的认可才去面对或者重新去研究。我们来看看《易》之“数学”表现在什么地方：
　　“《易》有太极，是生两仪。两仪生四象。四象生八卦。”（《易经·系辞上》）
　　此段话是《周易》最为著名的一段宇宙生成过程的话语，表现了周易对于宇宙变化的规律的独特认识。同时也体现了易学宇宙的数学的运动规律。《老子》第42章中说的：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”也是表现老子修炼中看到的宇宙变化的模式，也是可以应用数学的语言来描述的。也就是说，老子及周易的作者等人，通过修炼看到宇宙变化的基本规律，而大道至简至易，这些规律是可以用简单的符号或者数字表现出来的。（笔者注：《周易》与《老子》所表达的数学宇宙模式，也只是在他们的修炼境界中看到的一个极高层次的真相，虽然这些都极大的超出人类肉眼认识的宇宙模式范围，但这也和宇宙的最终真相相差甚远。所以，在一定的或者固定的情况下，这些数学模式相对于人类对宇宙有一定的揭示作用；一旦超出这些数学模式范围，可能就不会适用了。这种情况的认识和人类的思想境界、历史环境是密切相关的。）可惜，后人把这些宇宙运动规律局限在经学哲学研究的领域；或者后人因为未能达到上面修炼人的修炼标准，看不到宇宙的真相，结果陷入了空谈、玄谈的结果。实际上这个论述，是周易“数学”重要的指导思想、基本思想。《易经》又曰：“一阴一阳之谓道。” 所以在指导思想里，阴阳变化是易学内容的核心。这说明古人的数学思想的起点是极高的，是直接针对宇宙、生命来進行研究的，也跟修炼中的性命之学息息相关的。但在思维上却可以得出这样的结论：中国古代的数学直接就是一种关于宇宙、生命和人体的规律的科学，而不像现代数学一样是现在人们的一种抽象出来的人的观念的产物。
　　例如：“天一，地二；天三，地四；天五，地六；天七，地八；天九，地十。”（《易经·系辞上》）
　　在这里，偶数或者奇数是有严格的阴阳划分的。《易经》曰：“一阴一阳之谓道。”也就是，我们看到，数字的意义被蕴涵在“天地”、“阴阳”等等之中的。所以说：“天数五，地数五。五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”（《易经·系辞上》）

　　所谓的天数二十有五，就是：1+3+5+7+9=25
　　所谓的地数三十，就是：2+4+6+8+10=30
　　这种现象除了在五行河图配数中体现以外，在八卦之中也特别具体体现出来。如在北宋邵雍的先天八卦图中的配数是：
　　乾一，兑二，离三，震四，巽五，坎六，艮七，坤八。
　　值得進一步指出的是，这种配数不是简单的一到十或者一到八的数字的表示，实际上他是一切自然数的概括或者表示，只不过在内涵上赋予了“天地”或者“八卦”的意义。也就是说，一切自然数都在“天地”或者“八卦”中的理念中得到体现。
　　“大衍之数五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰；五岁再闰，故再扐而后挂。”（《易经.系辞上》）
　　这是一个很明显的数学计算模式；也是表现卦与爻的变化关系，而他们是完全可以在“数”的内涵中得到表达的。邵雍说：“七七四十九，大衍之用数也……大衍之数，其算法之源乎？是以算数之起，不过乎方圆曲直也。乘数，生数也；除数，消数也。算法虽多，不出乎此矣。”（《观物内篇》）
　　“《乾》之策二百一十有六，《坤》之策百四十有四，凡三百六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。”（《易经·系辞上》）
　　这是六十四卦与历法、与万物之间的数字关系。当然，后人因为有各种相应的数字出现不一致的现象，而认为这只是一种比附的关系。实际上，不应当这么简单的看待。这里我们可以看到在邵雍的“元会运世”的数字关系中，看出这些数字不是简单的比附，而是一种值得注意的关系。尤其在数字相近、相同的情况下，犹为值得发现其中的真实规律。
　　“数往者顺，知来者逆，是故《易》逆数也。”（《易经·系辞下》）
　　这句比较难以理解，但我们可以认为这是对于《易经》的数学思想的一个小概括，也表现了与今人对于数学认识的不同之处。今人在数学上的发现或者突破，完全依靠人的观念的改变以后，才得以進行的。一旦人的观念或者思想未能接受的时候，那数学的发展就从无可言。也就是说，现在的数学完全建立在对于前人的思想观念之上的；而《易经》却认为能够知道未来的数学，才是真正的易道的内涵，而不是一种完全的接受前人观念的思维方式。
　　还有，卦与卦之间，爻与爻之间，卦爻之间都有错综互变的关系，这些关系的内涵包含有一种数学上的变化关系，但也不完全等同。
　　从以上的解析来看，如果能够肯定《周易》存在完整的、系统的数学思想的话，那么，中国的数学文化内涵完全可以向前推演千年。因为《周易》之前，是来自夏商时期《连山》《归藏》的演变和改造的。所以，《周易》的来源是极其深远悠久的。实际上，当今的许多易学研究者已经认识到了这种系统性和完整性。从这个角度来看，中国古代数学的体系和古希腊及现代西方的数学体系完全是两回事，也就是说，中国古代数学走的路是一个被历史淹没的几乎被人们所遗忘的文化之路。
　　一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （四）
　　四、
　　关于二、三、四、五等基本数字的运算内涵。
　　这里的二、三、四、五的数字内涵跟现代思维的数字内涵不是一回事情。我们先从经学的角度去侃侃。比如，在汉朝许慎《说文解字》中，对于
　　“一”解释是：“惟初太始，道立于一，造分天地，化成万物。”
　　“二”解释是：“地之数也，从偶一。”
　　“三”解释是：“天地人之道也。”
　　“四”解释是：“阴数也。象四分之形。”
　　“五”解释是：“五行也。从二，阴阳在天地间交午也。”
　　“六”解释是：“易之数，阴变于六，正于八。”
　　“七”解释是：“阳之正也。从一，微阴从中里出也。”
　　“八”解释是：“别也，象分别相背之形。”
　　“九”解释是：“阳之变也。象其屈曲究尽之形。”
　　“十”解释是：“数之具也。—为东西，│为南北，则四方中央备矣。”

　　我们看到，除了“八”字的解释是根据字体的形状作出的以外，其它数字的解释基本上是和《易》、数术内涵紧密相关。这些个内涵应该在数学思想中做深刻的研究。而笔者在下面从另一个相似的角度说明。
　　首先，关于“一”，在《道德经》里，也经常使用“一”字，其内涵与“道”的内涵非常接近，有时互相替代，这和许慎的《说文解字》解释大致相同。刚才引用的 “道生一，一生二，二生三，三生万物”，就表达了。而许慎的《说文解字》主要来自于儒家的思想，这说明道家思想和儒家思想有一定的关联和一致性。
　　其次，关于“二”，我们也经常把“二”和“阴阳”（在《周易》里叫“两仪”）事物等同；而“三”则于“叁才”（即：天地人）相关；“四”可以和“四时”（即：春夏秋冬）或者“四象”（即：太阳、少阳、太阴、少阴）相配；“五”可同“五行”（即：金木水火土）相等。
　　那么，对于熟悉中国古代文化的人来说，我们可以很明显的進一步指出：
　　上古的《周易》的阴阳文化表现了“二”的运算规则；
　　扬雄的《太玄》的叁才文化表现了“三”的运算规则；
　　邵雍的《皇极经世书》的四象文化表现了“四”的运算规则；
　　司马光的《潜虚》的五行文化表现了“五”的运算规则。
　　关于扬雄的《太玄》是模仿《周易》而写的，这是人们都认识到的。邵雍说：“易有算数，三而已；参天者三三而九，两地者倍三而六。参天两地而倚数，非天地之正数也。倚者拟也，拟天地正数而生也。”“历不能无差。今之学历者，但知历法，不知历理。能布算者，落下闳也，能推步者，甘石公也。落下闳但知历法，扬雄知历法又知历理。”“落下闳改颛帝历为太初历，子云准太初而作《太玄》，凡八十一卦，九分共二卦。”“七七四十九，大衍之用数也，八八六十四，卦数也，九九八十一，《玄》、《范》之数也。”（《范》是指《尚书》的《洪范》篇——笔者注）“《太玄》九日当两卦，余一卦当四日半。”“扬雄作《玄》，可谓见天地之心者。”（皆出自《观物内篇》）可见，扬雄深得三之数。
　　邵雍使用“加倍法”，在《周易》的“二”的运算基础上，建立了“四”（即2×2=4）的运算规律【注5】；实际上这个《皇极经世书》完全是《周易》的思想的進一步复杂化的演算模式，和《周易》是一个体系的内涵。这种“加倍法”在历史上有过先例：如《周易》自身把八卦变成六十四卦，取八八六十四的数（即8× 8=64）；再如汉朝的《焦氏易林》里把六十四卦進一步加倍，得出四千又九十六卦（即64×64=4096）。当然在《皇极经世书》里也有许多邵雍自己独创的内涵。例如：“元会运世”，凡一世三十年，一运十二世，一会三十运，一元十二运，故一元当十二万九千六百年。其算式如下：
　　1元=12会=360运=4320世=129600年
　　1会=30运=360世=10800年
　　1运=12世=360年
　　1世=30年
　　易学家潘雨廷在《读易提要·邵雍〈皇极经世书〉提要》篇中认为：“按邵子之历以十二、三十相间为周期。十二者，地支也；三十者，天干三周也。故其本犹六十甲子。”【注6】所以说，邵雍的“数学”思想深受扬雄《太玄》及术数文化的影响和启发。

　　那么，司马光同样也受到扬雄和邵雍的思想的影响，才制作出《潜虚》来的，并和扬雄的《太玄》有异曲同工之处。实际上，如果仔细研究，则会发现，司马光的学术与邵雍的学术很类似。如史学上，司马光有《资治通鉴》，邵雍有《皇极经世》；哲学上，司马光有《潜虚》，邵雍有《观物篇》及《渔樵问对》等；音韵学上，司马光注重“五”分法，邵雍则是“四”分法等等。这种类似的情况，说明了二人的思想关系确实符合史书记载的他们曾经有长时间的密切交往的事实。
　　另外，据敦煌莫高窟的发现，至少在唐朝时代就有了《灵棋经》；到了元末明初的刘伯温为其作注，因而大行于世。刘基《灵棋经解序》认为：“灵棋之式，以三为经，以四为纬。……灵棋，象易而作也，非精于易者不能也。予每喜其占之验……”。可见，“灵棋”是数字“三”和“四”的结合体，并同样和《周易》有着仿制的内涵关系在其中，道理如同《太玄》、《潜虚》。
　　可以总结的说法就是，在《周易》文化的影响下，后人根据了《周易》的数学体系模式，可以進一步发明或者发现与《周易》完全相似的数学体系。这些体系虽然从学理角度来说是易文化变化或派生出来的，但仍然具备自身独立的严格性、完整性和体系性。这也符合了“神无方而易无体”的玄学思想。这也证明中国的易文化影响下的数学体系模式是在不断的变化的，不断的有继承发展的。
　　一些关于中国古代术数的数学理念的札记 （五） 
　　五、 易学体系的“象数”文化内涵与现代数学之间的关系
　　在《周易》里，关于“象”的内涵，有许多变化莫测的使用与解说。不过，《周易·系辞》曰：“在天成象，在地成形，变化见矣。”在此，“象”与“形”的意义基本是一致的。笔者在这里也比较支持并使用这个“象”的内涵。
　　在欧几里得的《几何原理》里面，关于“点”、“线”、“面”的概念的解说和使用，很接近关于易学中的“象”与“形”的内涵；但是，这里面还是有严格的文化区分在其中，是两种不同的文化体系的解说。至于后来西方文化发展出来的非欧几何，完全是对于欧氏几何原理的逻辑上的新发现或者新突破，而制作出来的，可惜也还未能有本质的文化内涵的突破，这也许和西方的符号文化息息相关吧。那么，笔者试试来看他们的文化区分在哪里呢——
　　《春秋左氏传·僖公》曰：“龟，象也；筮，数也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。”那么，我们看到的情况是，“象”的内涵与事物的整体内涵是直接相关的。大儒邵雍把易学分为“意、言、象、数”四个层次的意义，但并不是将这四者完全分开、隔离开，这么说来，这个“象”的哲学意义直接和“意、言、数” 相关。笔者看来，这是不可以分离的。只是后人之学者各有偏好，理解事物的真实内涵各有境界，加上所继承之学术各有偏颇、性情也是不一，所以易之后学繁复杂缛，才又分为义理和象数两种之学。那么说来，“象”与“意、言、象、数”是一个正式而且又真实的整体，分开来说他们，是一种人们知道的意义来表达，而实质的意义是，他们是不可分开的。也即，说到“象”的时候，他就孕育或者蕴涵着“意、言、象、数”的不同层次的意义；说到“数”的时候，也是如此。从这里我们可以看到，“象”的意义，超过一般的抽象的哲学意义，他的整体性的意义可以达到不可言语的“意”的层面。当然，如果从缘起或者起源的角度来看，“象”的内涵跟高境界的修炼内涵有关，比如说“阴阳”，其本身就是一种“象”，后人为了方便理解，所以常把其与“天地”、“男女”、“尊卑”等等内涵相互阐释，而真正的实质是，“阴阳”本身就是独立的“象”或者“意”， “天地”、“男女”、“尊卑”等类似的概念是人世间的人找到与“阴阳”相关连的意义的人世间式的表达，这种表达就是通俗化的表达而已，当然，其中也有实际的意义上的真实的关联。所以，“阴阳”这种类型的“象”，既不能说是具体的“象”，也不能说是抽象的“象”，但是他又能将其在具体的情况下可以成为具体的 “象”，或者成为抽象的“象”。这些表现古人修炼到高境界后认识到的事物的规律的概括意义，是能超越一般世人的知识的概念内涵。这也许是易学的“象”的内涵的特殊性所在和超越性所在。
　　而西方的数学，尤其在几何方面，主要从两个层面表现他们的关于“象”的认识：一个是人的视觉器官；一个是抽象的符号文化所引发的概念性的假设。没有人的视觉器官，就无法对于人世间的状态下的事物進行测量；而人的视觉器官也只是局部的而且有限的看到事物的内涵，不是整体内涵。至于象对于“点”、“线”、 “面”这些概念的定义，只能是假设性的定义，也即是直接的假设。至于这种假设为何能建立出人们认为的“科学体系”或者“科学知识”，那是哲学家们具体争议的问题，而对于人类而言，这也只是人类生存状态的局限性所致。人类想要梦想无限的生存，也必须要自己去探索，可惜这是不可能的。
　　笔者暂时只能分析到以上二者的这种区分。另外，让我们试试补充的谈一下算学与数学的名词内涵的区别。从名词的角度来看，“算学”主要体现在“算”字的意义，而不是局限在对于数字体系的运算内涵的解说；而“数学”这个名词的特点，必须与数字体系相关，人们才能更好的去理解各种运算体系。笔者认为，“算学” 的意义，在名词解说上，具有比“数学”更广义的意义和发展内涵在其中。而且，关于“算”字的内涵，也不只是由“加减乘除”来构成了，更多的是表示宇宙中各种事物、生命的运动变化的规律的体现了。有多少事物的运动规律，就有多少“算学”的变化形式或者规律。

　　六、 未来数学的可能性。
　　据本人花一段时间考察了中国古代术数文化的感受以后（见笔者所写的《草议治学中国古代历史的方法的几个问题》），深刻的认识到中国古代数学的内涵极为博大精深。这也使得我们不仅只是单单用现代的哲学、逻辑学的思辩的思维方式、思想方法来看待数学的可能性了，而可以是能够用更广义的、更接近生命本质的方式来看待数学的发生与发展变化。这个就涉及到运用修炼内涵的文化或者意义来進行辨别和开拓了。那么，笔者不吝鄙妄，在此试论一下关于未来数学的可能性的具体的想法，以便将来的方家做指教、甄鉴或者发明：
　　我们首先看南宋数学家秦九韶《数学九章?序》的一段话：“今数术之书尚三十余家不，天象历度谓之缀术，太乙壬甲谓之三式，皆曰内算，言其秘也。九章所载，即周宫九数。系于方圆为叀（？）术，皆曰外算，对内而言也，其用相通，不可歧二。独大衍法不载九章，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者，误也。且天下之事多矣，古之人先事而计，计定而行，仰观俯察，人谋鬼谋，无所不用其谨，是以不衍于成，载籍章章可覆也。后世兴事造始，鲜能考度，浸浸乎天纪人事之淆缺矣，可不求其故。”【注8】
　　这就是关于数学内涵中的“内算”与“外算”的著名论述。据笔者鄙陋认为，当今来自西方的古希腊数学和现代数学，则完全属于“外算”部分。而关于“内算”部分，秦九韶认为属于天文数学内涵和术数文化内涵，其中的“三式”是指著名的太乙神数、六壬和奇门遁甲。不过，秦九韶还认为“内算”与“外算”之间的关系是相对而言的，“其用相通，不可歧二”。这说明了，数学与术数的关系是密切的，这在现代逻辑数学的内涵中，多多少少看到了一些相似的影子。只是现代逻辑学仍然未能触及到数学与生命内涵之间的关系，也未能与性命内涵相关连；所以，现代逻辑走的路子和术数文化是截然不一的。
　　我们来看一下北宋朝代的《太平广记·第215卷·算术》记载的关于“算术”的故事中，所体现的“数学”（或算学）的思想内涵吧。这一卷是以人物为主题写的故事，当然，这些故事的来源是搜集自宋朝以前的笔记野史。人物分别是：郑玄、真玄兔、曹元理、赵达、李淳风、一行、邢和璞、满师、马处谦、袁弘御。其中李淳风的故事标题用《贞观秘记》，其余用人名。有一些人在正史中是有其人的相关记载，如郑玄、赵达、李淳风、一行，都是可考的真实人物。
　　在《郑玄》一篇中，一共提到三种算术：一是“算浑天”，就是天文学“浑天说”的算术方法；二是“转式”、“推式以算”，就是古人说的“三式”：太乙神数、奇门遁甲、六壬。今人认为这些是数术类的技能。三是“算乘除”，就是现在的简单的乘除法计算。
　　在《真玄兔》一篇中，文中说“皇甫嵩、真玄兔、曹元理”三人会算术，皇甫嵩是东汉后期镇压黄巾起义的名将。而真玄兔却能算出自己的岁数和自己死去的具体的日期，相差一天时间。这类算术，今人看来，当是属于数术类的。
　　在《曹元理》一篇中，曹元理用筷子“十余转”，算出陈广汉的两个大仓库的具体石数（古人的计量粮食单位）和具体数量的农牧资业。这项技能有传乘人，分别是“南季。南季传项滔。项滔传子陆”。这种算术技巧不知如何归类。
　　在《赵达》一篇中，赵达用占算的方式，解释长沙饥荒的原因，说是余干县的水口有一个鳖形沙洲而造成的。这有点象风水类的技能。
　　在《贞观秘记》一篇中，李淳风“据玄像，推算”唐朝将有女主代有天下。这里的“玄像”或有人认为是天象，那么这就可能是星象学。
　　在《一行》一篇中，一行僧人会修历书，造黄道游仪，这些都需要高超的数学知识；又在固定时间里测量日影，然后用勾股法算出中土的南北距离。这是后人说的天文数学。
　　在《邢和璞》一篇中，“邢和璞好黄老之道，善心算。”至于是什么样的“心算”，无从得知。里面有三则像神话一样的故事，其中第2个故事是转世的，跟算术的直接关联不大。

　　在《满师》一篇中，“满师善九宫”，有人认为“九宫”是数术的一种；故事内容是算命的。
　　在《马处谦》一篇中，盲人马处谦会易学占卜。
　　在《袁弘御》一篇中，后唐时期的袁弘御“尤精算术”，能随即算出树上的树叶或凋落的树叶，也可算出玉碗破碎的时间。
　　这十篇故事基本都没有雷同之处，而都归于“算术”的内涵，很值得人们深思。我们是到有必要了解真实的“算术”内涵的时候了。
　　那么，笔者从中国传统文化内涵的角度，大致的设想了未来数学内涵的可能性。因为任何学问都有其复杂性和交叉性；因而笔者在此试试大致做一点举例说明或解说吧：
　　未来数学的内涵分两大类：一是技术算，一是功能算；
　　也可以从另外一个角度，即采用南宋秦九韶的说法的名词（但与秦九韶的说法的内涵不完全一致），可分为两大类：一是内算，一是外算。
　　所谓的现代意义的数学内涵，一般可以统称之为“数算”；他主要是从数字、符号的角度出发，依据人类肉眼看到的、感性的（也包括有一些是人的观念的变化出来的东西）或者通过科技发现的物理（指广义的物理，非是今日说的“物理学”）的各种表面形态与运动形态，来制作出各种各样的数学运算技巧。
　　而关于“术数文化”，则属于“命算”的内涵。这里的术数文化，不仅包括中国古代的各种术数，还包括其他国家的和西方国家的各种术数。其“命算”的主要特点，就是研究和运算地球、人类及其他与人类紧密相关各类物质的命理现象，可以得出与人自身相关的吉凶的命运内涵。而“命算”的文化内涵与“天人合一”的内涵、与“天命”的内涵、与“神传文化”的内涵是紧密不可分的。所以，“命算”和人类的“性命文化”是不可分的，但重点侧重在命理内涵，里面强调技巧的运用与传授。
　　至于说到“心算”，那就是一种运用低层次的心理功能的能力做的一种运算技巧。这个一般需要一定的训练，也有部分先天自己带有的，但是会“心算”者不一定完全知道其中心理功能的原理。像人们说的如果您给任何一个10几位数的数字，做加减乘除，心算者就以一般人达不到的速度很快算出来。另外，中外的古代的一些低层次的方术技巧，也带有类似的功能及关于“心算”的内涵。这里的“方术”也就是指人们说的“术类”或者“法术”的东西。一般说来，古代的人们也把“术数”当作“方术”的一种。但是在大部分的“术类”或者“法术”里的东西，实际是一种低层次的人体功能的体现；而“术数”是不完全依赖人体功能来展现其运算内涵；所以笔者就将二者区分开来了，将“术数”单独理解为“命算”的内涵。“心算”的内涵主要表现在“数算”与“命算”的人体的功能化，却不一定得到高层次的“性命文化”内涵，是与低层次的或者与人的文化的数学内涵相关的。严格的说，“心算”应该是人体中一些具体功能的体现。要解释的是，这里用“心”字，主要意思是指人的意念。
　　而“神算”，在这里主要指是高层次的修炼者，直接运用功能甚至是佛法神通来查看事物运动的真象，或者说是佛法神通的一种表现、一种功能。而普通的人们一般是不理解其中的事物运动的过程的及修炼内涵的玄奥，所以，往往把这些事物运动的真象作为一种运算的内涵或者运算的结果来看待，也即变象的变成了人们比较认可的一种“数学”或者“数学”的一个种类的内涵。但是，对于这些事物的运动的全体真象，不一定都能透露给世人，因为那是天机，所以这类“神算”的内涵往往具有神秘及玄奥的色彩，一般的人也认为必须通过修炼才能理解、认识和看得到，同时其内涵往往具有广义的多层次的指导意义。这里的“多层次”就是高层次和低层次的内涵都有、都包括。
　　那么说来，“数算”与“命算”的主要共同特点就是可以技术化的运算特色，人们通过学习和训练是能达到掌握这些运算技巧和技术的。所以，“数算”与“命算” 二者可以合称为“技术算”。而“心算”与“神算”的主要共同特点是以应用人体功能为主，来对于事物及其运动作为对象来進行研究运算，所以也可合称为“功能算”。只不过，“心算”的功能类似一种低层次的人体功能的技巧，一般人是通过训练可以得出来的；而“神算”必须与修炼和信仰相关联，其得出的关于“数学” 方面内涵也不是一般的人们能完全理解到的、明白得了的。